Inżynier i Fizyk Medyczny 6/2015 vol. 4
radiologia
/
radiology
327
artykuł
/
article
PET a GPS,
czyli o trilateracji słów kilka
Eryk Czerwiński
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej, Uniwersytet Jagielloński w Krakowie,
ul. Łojasiewicza 11, 30-348 Kraków, tel. +48 12 664 48 90, e-mail:
W ilu punktach
przecinają się 4 sfery?
Wyznaczanie miejsca pewnego zdarzenia można stosunkowo ła-
two przeprowadzić, jeżeli znana jest trajektoria elementów, któ-
re brały udział w tym zdarzeniu, np. ślady naładowanych cząstek
potomnych pochodzących z rozpadu cząstki pierwotnej można
zmierzyć w detektorze i poprzez ich ekstrapolację do punktu
przecięcia wyznaczyć miejsce rozpadu; w innej sytuacji znajo-
mość kierunku rozchodzenia się czoła fali pozwala na określenie
np. miejsca wrzucenia przedmiotu do wody. Problem staje się
bardziej skomplikowany, gdy kierunki emisji poszczególnych ele-
mentów (informacji) są nieznane, np. odbiór sygnałów wysyła-
nych przez system nawigacji satelitarnej lub rejestracja fotonów
z rozpadu stanu związanego elektronu i pozytonu (pozytonium).
W tym pierwszym przypadku od dawna używa się trilateracji,
czyli metody określania położenia na podstawie informacji na
temat odległości (pomiędzy satelitą a odbiornikiem). Można
to sobie wyobrazić jako wyznaczenie miejsca przecięcia 4 róż-
nych sfer, w których środkach znajdują się satelity nawigacyjne.
Ponieważ obszar przecięcia dwóch sfer jest okręgiem, tak więc
przecięcie tego okręgu z trzecią i każdą kolejną sferą może dać
dwa punkty, z których jeden, nieznajdujący się na powierzchni
Ziemi, można bezpiecznie odrzucić. Idea wyznaczenia pozycji
w systemach GPS przedstawiona została na rysunku 1. Główny
problem polega jednak na tym, że promienie tych sfer są nie-
znane. Dlatego konieczne są cztery satelity. Szczegółowe roz-
wiązanie tego zagadnienia zostanie przedstawione w dalszej
części artykułu. Natomiast w dwóch ostatnich częściach przed-
stawiono opis metody oraz nowego typu detektora, które dają
nadzieję na określanie nano-struktury nowotworów w oparciu
o rejestrację czasu życia orto-pozytonium, gdzie jednym z klu-
czowych rozwiązań jest wykorzystanie zmodyfikowanej metody
trilateracji.
Rys. 1
Idea trilateracji w GPS
Źródło:
Global Positioning System (GPS)
W trójwymiarowej przestrzeni do jednoznacznego wyznaczenia
pozycji potrzebny jest sygnał z trzech satelitów. Sygnał taki za-
wiera w sobie m.in. informację o aktualnym położeniu satelity
(środek sfery), czas wysłania sygnału (w połączeniu ze znanym
czasem odbioru sygnału oraz wartością prędkości światła daje
to informację o odległości – promieniu sfery) oraz znacznik cza-
su (do synchronizacji zegara odbiornika z atomowym zegarem
satelity). Uzyskana dokładność wyznaczenia pozycji odbiornika
nie jest jednak zadowalająca w powyższej metodzie m.in. ze
względu na niewystarczającą dokładność wyznaczenia czasu.
W związku z tym, do uwzględnienia stosownej poprawki używa-
ny jest sygnał z czwartej satelity. W ogólności nieznane cztery
parametry (3 współrzędne przestrzenne odbiornika oraz czas
wysłania sygnału z satelity) można otrzymać poprzez rozwią-
zanie układu czterech równań sfer. Należy tutaj podkreślić, że
to rozwiązanie pozwala otrzymać czas wysłania sygnału równo-
cześnie ze współrzędnymi przestrzennymi. Dokładnie ta właści-
wość metody wykorzystanej w GPS pozwala na jej wykorzysta-
nie w pozytonowej tomografii emisyjnej.
