vol. 2 3/2013 Inżynier i Fizyk Medyczny
144
artykuł
\
article
radioterapia
\
radiotherapy
fotony, które oddziaływały po raz pierwszy, jest określana termi-
nem „dawki pierwotnej”. Elektron zanim utraci całą swoją ener-
gię oddziałuje wielokrotnie z
absorbentem. Zasięg elektronu
zależy od energii początkowej – im większa energia fotonu, tym
średnio większa energia początkowa elektronu i większy zasięg
w
absorbencie. W
kierunku wzdłużnym dla typowej wiązki foto-
nowej o energii nominalnej 6MV i 15MVwytwarzanej w przyspie-
szaczu liniowym, maksymalny zasięg elektronów wynosi około
1,6 i
3,0 cm. Fotony rozproszone albo opuszczają absorbent bez
oddziaływań, albo oddziałują ponownie z
absorbentem. Energia
deponowana przez elektrony, które zostały wprawione w
ruch
w oddziaływaniach z
fotonami rozproszonymi, jest określana jako
dawka rozproszona. Należy zauważyć, że prawdopodobieństwo
ponownego oddziaływania fotonu z
absorbentem nie jest duże.
Średnią drogę swobodną fotonu można wyrazić poprzez odwrot-
ność liniowego współczynnika osłabienia. Dla fotonu o
energii
1 MeV średnia droga swobodna wynosi w wodzie około 10 cm.
Wyznaczenie dawki pierwotnej metodami eksperymentalnymi
nie jest możliwe, gdyż każdy detektor zawsze rejestruje zarówno
elektrony pierwotne, jak i
te, które uzyskały swoją energię od fo-
tonu wielokrotnie oddziałującego z absorbentem.
Dawka pierwotna
Rozważmy monoenergetyczną wiązkę fotonów o
przekroju ko-
łowym o
promieniu
r
. Załóżmy ponadto, że określamy dawkę
jedynie w
obszarze poniżej obszaru narastania dawki –
d
>
d
max
.
Jest oczywiste, że dla wiązek o promieniu większym niż maksy-
malny zasięg elektronów dawka pierwotna przestaje zależeć od
wielkości wiązki (zasięg elektronów jest zbyt mały, aby z
tego
obszaru elektrony mogły dotrzeć do punktu zainteresowania).
Oznaczmy tę maksymalną dawkę pierwotną przez
P
l
,
gdzie
l
oznacza promień pola terapeutycznego równy maksymalnemu
bocznemu zasięgowi elektronów. Dla dowolnej wiązki o promie-
niu mniejszym niż
l
można zapisać:
P r P P r
m
( )
( )
= −
λ
, gdzie
P
m
(
r
)
oznacza utratę dawki wynikającą z
braku bocznej równowagi
elektronowej. P
m
(r = 0) = P
l
, oraz P
m
(r ≥
l
) =
0.
Dane eksperymen-
talne pokazują, że funkcja
P
m
(r)
może być z
dobrą dokładnością
przybliżona funkcją ekspotencjalną. A
zatem:
∂ = − ⋅
∂
P r
P r r
m
m
( )
( )
γ
,
gdzie
g
- parametr opisujący zasięg elektronów.
Przy uwzględnieniu warunków brzegowych rozwiązanie równa-
nia prowadzi do równania:
P r P e
m
r
( )
= ⋅
− ⋅
λ
γ
Rozwiązanie tego równania prowadzi do wyrażenia:
P r P P e
r
( ) ( ) ( )
= − ⋅
− ⋅
λ
λ
γ
Na rysunku 3 przedstawiono zależność dawki pierwotnej i braku
dawki pierwotnej od promienia wiązki.
Rys. 3
Dawka pierwotna w funkcji pola kołowego (cm)
P
(
r
) osiąga swoją maksymalną wielkość dla
r
= ∞. Jednakże
praktycznie dawka pierwotna osiąga swoją maksymalną war-
tość już dla
r
= 5
g
.
W wiązkach terapeutycznych na głębokościach większych od
d
max
osiągana jest tzw. przejściowa równowaga elektronowa. Dla
promieniowania pierwotnego widmo promieniowania pozostaje
stałe bez względu na głębokość w
absorbencie i dlatego tą samą
funkcją można opisać dawkę pierwotną bez względu na głębokość
w absorbencie. W obszarze narastania dawki można oczekiwać na-
tomiast, żeparametr
g
będzie zależał odgłębokości. To zagadnienie
jednak nie jest przedmiotem rozważań niniejszego opracowania.
Jest oczywiste, że nie tylko wzdłużny zasięg elektronów, ale
również odległość, na jaką docierają elektrony w
kierunku pro-
stopadłym względem wiązki o
nieskończenie małym przekroju,
zależy od energii początkowej elektronu, która z
kolei jest funk-
cją energii fotonu. To dość skomplikowane zagadnienie opisuje
Model Hogstroma dla wiązek elektronowych „
pencil beam
” [3].
Dotychczas rozważania były prowadzone dla wiązki monoener-
getycznej. Model można łatwo rozszerzyć na rzeczywistą wiązkę
o widmie ciągłym. Należy przedstawić dawkę pierwotną jako cał-
kę z
funkcji monoenergetycznych po widmie wiązki fotonowej:
P r C
d
dh
P hv
e
dhv
hv r
h
( )
( )
( )
= ⋅
⋅
⋅ −
(
)
−
∫
Φ
ν
λ
γ
ν
1
,
gdzie
C
jest współczynnikiem normalizującym całe wyrażenie
oraz pozwalającym na uzyskanie właściwych jednostek (dawka
jest całką z mocy dawki, po czasie).
Warto zauważyć, że zarówno pełna dawka pierwotna
P
l
, jak i
g
zależą od widma promieniowania.
2
fotonu.
Rys. 2 Zależność energii średniej i maksymalnej przekazanej elektronowi przez foton w oddziaływaniu
Comptonowskim
Energia zdeponowana w absorbencie na jednostkę masy przez elektrony wprawione w ruch przez
fotony, które oddziaływały po raz pierwszy, jest określana terminem „dawki pierwotnej”. Elektron
za im utraci całą swoją energię oddziałuje wielokrotnie z absorbentem. Zasięg elektronu zależy od
energii początk wej – im większa ene gia fotonu, tym średnio iększa ener ia początkowa elektronu
i większy zasięg w absorbencie. W kierunku wzdłużnym dla typowej wiązki fotonowej o energii
nominalnej 6 MV i 15 MV wytwarzanej w przyspieszaczu liniowym, maksymalny zasięg elektronów
wynosi około 1,6 i 3,0 cm. Fotony rozproszone albo opuszczają absorbent bez oddziaływań, albo
oddziałują ponownie z abs r entem. Energia deponow na prz z elektrony, które zostały wprawione
w ruch oddziaływaniach z fotonami r zproszonymi, jest określana jako dawka rozprosz n . Należy
zauważyć, że prawdopodobieństwo ponownego oddziaływania fotonu z absorbentem nie jest duże.
Średnią drogę swobodną fotonu można wyrazić poprzez odwrotność liniowego współczynnika
osłabienia. Dla fotonu o energii 1 MeV średnia droga swobodna wynosi w wodzie około 10 cm.
W znacze ie daw i pierwotnej metodami eksperymentalnymi nie j st możliwe, gdyż każdy det ktor
zawsze rejestruje zarówno lektrony pierwotne, jak i te, które uzyskały swoją energię od fotonu
wielokrotnie oddziałującego z absorbentem.
Dawka pierwotna
Rozważmy monoenergetyczną wiązkę fotonów o przekroju kołowym o promieniu
r
. Załóżmy
ponadto, że określamy dawkę jedynie w obszarze poniżej obszaru narastania dawki –
d
>
d
max
. Jest
oczywiste, że dla iązek o promieniu większym niż maksymalny zasięg elektronów dawka pierwotna
przestaje ależ ć od wielkości wiązki (zasię elektronów jest zbyt mały, aby z tego obszaru elektrony
Frakcja energii przekazywana elektronom
comptonowskim
Energia fotonów MeV
3
m
m
gdzie
‐ (???)
Przy uwzględnieniu warunków brzegowych rozwiązanie r
r
m
eP rP

)(
Rozwiązanie tego równania prowadzi do wyrażenia:
r
e P P rP

 
)( )(
)(
Na rysunku 3 przedstawiono zależność dawki pierw
promienia wiązki.
Rys. 3
brak opisu rysunku (Jakie jednostki na osiach? Czy
P
(
r
) osiąga swoją maksym lną wielkość dla
r
= ∞. Jednakż
swoją maksymalną wartość już dla
r
= 5
.
W wiązkach ter peutycznych na głębokościach większych
równowaga elektronowa. Dla promieniowania pierwotne
stałe bez względu na głębokość w absorbencie i dlatego
pierwotną bez względu na głębokość w absorbencie.
oczekiwać natomiast, że parametr
będzie zależał od głęb
przedmiotem rozważań niniejszego opracowania.
P
m
(
r
)
P
(
r
)
Rys. 2
Zależność energii średniej i maksymalnej przekazanej elektronowi przez
­foton w oddziaływaniu Comptonowskim
1...,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31 33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,...52